Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
- Límite de (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
-
Límite de (2+x)*(6-x)/x^2
-
Límite de (6+5*x^2+13*x)/(-8+2*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(dos +x^ dos -x)-sqrt(- tres +x^ dos)
- raíz cuadrada de (2 más x al cuadrado menos x) menos raíz cuadrada de ( menos 3 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (dos más x en el grado dos menos x) menos raíz cuadrada de ( menos tres más x en el grado dos)
- √(2+x^2-x)-√(-3+x^2)
- sqrt(2+x2-x)-sqrt(-3+x2)
- sqrt2+x2-x-sqrt-3+x2
- sqrt(2+x²-x)-sqrt(-3+x²)
- sqrt(2+x en el grado 2-x)-sqrt(-3+x en el grado 2)
- sqrt2+x^2-x-sqrt-3+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(2+x^2-x)+sqrt(-3+x^2)
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3-x^2)
- sqrt(2+x^2+x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(3+x^2)
- sqrt(2-x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-1/(1+t*x))
- sqrt(4-x)-sqrt(3+x)-sqrt(4+x)/sqrt(3-x)
- sqrt(4-2*n+9*n^2)-3*n
- sqrt(x/(1+2*x))
- sqrt(x*(-5+x))-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-1/(1+t*x))
- sqrt(4-x)-sqrt(3+x)-sqrt(4+x)/sqrt(3-x)
- sqrt(4-2*n+9*n^2)-3*n
- sqrt(x/(1+2*x))
- sqrt(x*(-5+x))-x
Límite de la función sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ _________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 2 + x - x - \/ -3 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right)$$
Limit(sqrt(2 + x^2 - x) - sqrt(-3 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - 3}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - x^{2}\right) + \left(- x + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - x}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u - 1}{\sqrt{1 - 3 u^{2}} + \sqrt{2 u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 + 0 \cdot 5}{\sqrt{1 - 3 \cdot 0^{2}} + \sqrt{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} - 3}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 - x^{2}\right) + \left(- x + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 - x}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} + \sqrt{x^{2} - 3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 3}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} - 3}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{5}{x}}{\sqrt{1 - \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u - 1}{\sqrt{1 - 3 u^{2}} + \sqrt{2 u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 + 0 \cdot 5}{\sqrt{1 - 3 \cdot 0^{2}} + \sqrt{- 0 + 2 \cdot 0^{2} + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{3} i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 2\right)} - \sqrt{x^{2} - 3}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo