Sr Examen

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(-1+sin(x))/cos(x)
Límite de la función/ cos(x)/ sin(x)/ (-1+sin(x))/cos(x)

Límite de la función (-1+sin(x))/cos(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /-1 + sin(x)\
 lim  |-----------|
   pi \   cos(x)  /
x->--+             
   2
lim⁡x→π2+(sin⁡(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) 
Limit((-1 + sin(x))/cos(x), x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(sin⁡(x)−1)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+cos⁡(x)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \cos{\left(x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(sin⁡(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(sin⁡(x)−1)ddxcos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−cos⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \cos{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(−cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \cos{\left(x \right)}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0-200200
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /-1 + sin(x)\
 lim  |-----------|
   pi \   cos(x)  /
x->--+             
   2
lim⁡x→π2+(sin⁡(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= -3.06161699786838e-17
      /-1 + sin(x)\
 lim  |-----------|
   pi \   cos(x)  /
x->---             
   2
lim⁡x→π2−(sin⁡(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= -3.06161699786839e-17
= -3.06161699786839e-17
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(sin⁡(x)−1cos⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 0
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(sin⁡(x)−1cos⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 0
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(sin⁡(x)−1cos⁡(x))=−1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) = -1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(sin⁡(x)−1cos⁡(x))=−1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) = -1
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(sin⁡(x)−1cos⁡(x))=−1+sin⁡(1)cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + \sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(sin⁡(x)−1cos⁡(x))=−1+sin⁡(1)cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + \sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−1cos⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - 1}{\cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
-3.06161699786838e-17
-3.06161699786838e-17
Gráfico
Límite de la función (-1+sin(x))/cos(x)
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