Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de 1+1/x
-
Expresiones idénticas
- (-x-x^ dos)/(dos + dos *x^ dos + tres *x)
- ( menos x menos x al cuadrado ) dividir por (2 más 2 multiplicar por x al cuadrado más 3 multiplicar por x)
- ( menos x menos x en el grado dos) dividir por (dos más dos multiplicar por x en el grado dos más tres multiplicar por x)
- (-x-x2)/(2+2*x2+3*x)
- -x-x2/2+2*x2+3*x
- (-x-x²)/(2+2*x²+3*x)
- (-x-x en el grado 2)/(2+2*x en el grado 2+3*x)
- (-x-x^2)/(2+2x^2+3x)
- (-x-x2)/(2+2x2+3x)
- -x-x2/2+2x2+3x
- -x-x^2/2+2x^2+3x
- (-x-x^2) dividir por (2+2*x^2+3*x)
-
Expresiones semejantes
- (-x+x^2)/(2+2*x^2+3*x)
- (x-x^2)/(2+2*x^2+3*x)
- (-x-x^2)/(2+2*x^2-3*x)
- (-x-x^2)/(2-2*x^2+3*x)
Límite de la función (-x-x^2)/(2+2*x^2+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| -x - x |
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\2 + 2*x + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
Limit((-x - x^2)/(2 + 2*x^2 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u - 1}{2 u^{2} + 3 u + 2}\right)$$
=
$$\frac{-1 - 0}{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 3 + 2} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u - 1}{2 u^{2} + 3 u + 2}\right)$$
=
$$\frac{-1 - 0}{2 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 3 + 2} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x - 1\right)\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 3 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(- x - 1\right)}{2 x^{2} + 3 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(- x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x - 1}{4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x - 1\right)\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + 3 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(- x - 1\right)}{2 x^{2} + 3 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(- x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 3 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x - 1}{4 x + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{2}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{2}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{2}{7}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{2}{7}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} - x}{3 x + \left(2 x^{2} + 2\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico