Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función 2*x*(-3+x)^3/(-1+x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /            3\
     |2*x*(-3 + x) |
 lim |-------------|
x->oo\    -1 + x   /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right)$$
Limit(((2*x)*(-3 + x)^3)/(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{18}{x} + \frac{54}{x^{2}} - \frac{54}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{18}{x} + \frac{54}{x^{2}} - \frac{54}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 54 u^{3} + 54 u^{2} - 18 u + 2}{- u^{4} + u^{3}}\right)$$
=
$$\frac{- 54 \cdot 0^{3} - 0 + 54 \cdot 0^{2} + 2}{0^{3} - 0^{4}} = \infty$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x \left(x - 3\right)^{3}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 x \left(x - 3\right)^{3}}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x^{3} - 54 x^{2} + 108 x - 54\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x^{3} - 54 x^{2} + 108 x - 54\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x \left(x - 3\right)^{3}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
oo
$$\infty$$