Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Límite de (sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x))/(x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- uno / dos +x+sqrt(x+x^ dos)
- 1 dividir por 2 más x más raíz cuadrada de (x más x al cuadrado )
- uno dividir por dos más x más raíz cuadrada de (x más x en el grado dos)
- 1/2+x+√(x+x^2)
- 1/2+x+sqrt(x+x2)
- 1/2+x+sqrtx+x2
- 1/2+x+sqrt(x+x²)
- 1/2+x+sqrt(x+x en el grado 2)
- 1/2+x+sqrtx+x^2
- 1 dividir por 2+x+sqrt(x+x^2)
-
Expresiones semejantes
- 1/2+x-sqrt(x+x^2)
- 1/2+x+sqrt(x-x^2)
- 1/2-x+sqrt(x+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(4+x^2)-10*x
- sqrt(-3+x)/(sqrt(x)-sqrt(3))
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(2+x^2)
- sqrt(-4+x^2)/(-2+x)
- sqrt(1+x^2+3*x)-x
Límite de la función 1/2+x+sqrt(x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________\
| / 2 |
lim \1/2 + x + \/ x + x /
x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Limit(1/2 + x + sqrt(x + x^2), x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) \left(- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}\right)}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(- x - \frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x - \left(- x - \frac{1}{2}\right)^{2}}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x - \left(- x - \frac{1}{2}\right)^{2}}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(-1 + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x} - \frac{1}{2 x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}} + \frac{- x - \frac{1}{2}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \frac{- x - \frac{1}{2}}{x}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \frac{- x - \frac{1}{2}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{u}{4 \left(u \left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{u}\right) + \sqrt{u + 1}\right)}\right)$$ =
= $$- \frac{0}{0 \left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{0}\right) + \sqrt{1}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) \left(- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}\right)}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(- x - \frac{1}{2}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x - \left(- x - \frac{1}{2}\right)^{2}}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x - \left(- x - \frac{1}{2}\right)^{2}}{- x + \sqrt{x^{2} + x} - \frac{1}{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(-1 + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x} - \frac{1}{2 x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(\sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}} + \frac{- x - \frac{1}{2}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \frac{- x - \frac{1}{2}}{x}\right)}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{4 x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \frac{- x - \frac{1}{2}}{x}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{u}{4 \left(u \left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{u}\right) + \sqrt{u + 1}\right)}\right)$$ =
= $$- \frac{0}{0 \left(- \frac{1}{2} - \frac{1}{0}\right) + \sqrt{1}} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2} + \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2} + \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2} + \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\left(x + \frac{1}{2}\right) + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2} + \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha