Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^2*log(x)
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x+ dos *x^ tres)/(uno +x^ dos + tres *x^ tres)
- (1 más x más 2 multiplicar por x al cubo ) dividir por (1 más x al cuadrado más 3 multiplicar por x al cubo )
- (uno más x más dos multiplicar por x en el grado tres) dividir por (uno más x en el grado dos más tres multiplicar por x en el grado tres)
- (1+x+2*x3)/(1+x2+3*x3)
- 1+x+2*x3/1+x2+3*x3
- (1+x+2*x³)/(1+x²+3*x³)
- (1+x+2*x en el grado 3)/(1+x en el grado 2+3*x en el grado 3)
- (1+x+2x^3)/(1+x^2+3x^3)
- (1+x+2x3)/(1+x2+3x3)
- 1+x+2x3/1+x2+3x3
- 1+x+2x^3/1+x^2+3x^3
- (1+x+2*x^3) dividir por (1+x^2+3*x^3)
-
Expresiones semejantes
- (1+x+2*x^3)/(1+x^2-3*x^3)
- (1+x-2*x^3)/(1+x^2+3*x^3)
- (1-x+2*x^3)/(1+x^2+3*x^3)
- (1+x+2*x^3)/(1-x^2+3*x^3)
Límite de la función (1+x+2*x^3)/(1+x^2+3*x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3\
| 1 + x + 2*x |
lim |-------------|
x->oo| 2 3|
\1 + x + 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit((1 + x + 2*x^3)/(1 + x^2 + 3*x^3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + u^{2} + 2}{u^{3} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0^{3} + 2}{0^{3} + 3} = \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{3} + u^{2} + 2}{u^{3} + u + 3}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0^{3} + 2}{0^{3} + 3} = \frac{2}{3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} + x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} + x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{3} + x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{2} + 1}{9 x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{18 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 12 x}{\frac{d}{d x} \left(18 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{3} + x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{3} + x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} + x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{3} + x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x^{2} + 1}{9 x^{2} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(6 x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x}{18 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 12 x}{\frac{d}{d x} \left(18 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{4}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{3} + \left(x + 1\right)}{3 x^{3} + \left(x^{2} + 1\right)}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico