Sr Examen

Otras calculadoras:


sqrt(x+x^2)-x

Límite de la función sqrt(x+x^2)-x

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
      /   ________    \
      |  /      2     |
 lim  \\/  x + x   - x/
x->-oo                 
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Limit(sqrt(x + x^2) - x, x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{x^{2} + x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) \left(x + \sqrt{x^{2} + x}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$

Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}$$ =
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}} + 1}$$ =
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$$ =
$$\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{u + 1} + 1}$$ =
= $$\frac{1}{1 + \sqrt{1}} = \infty$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = -1 + \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
oo
$$\infty$$
Gráfico
Límite de la función sqrt(x+x^2)-x