Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
- Integral de d{x}:
- (1+x)^2/(1+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x)^ dos /(uno +x^ dos)
- (1 más x) al cuadrado dividir por (1 más x al cuadrado )
- (uno más x) en el grado dos dividir por (uno más x en el grado dos)
- (1+x)2/(1+x2)
- 1+x2/1+x2
- (1+x)²/(1+x²)
- (1+x) en el grado 2/(1+x en el grado 2)
- 1+x^2/1+x^2
- (1+x)^2 dividir por (1+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (1+x)^2/(1-x^2)
- (1-x)^2/(1+x^2)
Límite de la función (1+x)^2/(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|(1 + x) |
lim |--------|
x->oo| 2 |
\ 1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
Limit((1 + x)^2/(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1}{0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{2} + 0 \cdot 2 + 1}{0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico