Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
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Límite de (sqrt(-1+x)-sqrt(7-x))/(-4+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(n^ cuatro + tres *n^ dos)-sqrt(uno +n^ dos +n^ cuatro)
- raíz cuadrada de (n en el grado 4 más 3 multiplicar por n al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (1 más n al cuadrado más n en el grado 4)
- raíz cuadrada de (n en el grado cuatro más tres multiplicar por n en el grado dos) menos raíz cuadrada de (uno más n en el grado dos más n en el grado cuatro)
- √(n^4+3*n^2)-√(1+n^2+n^4)
- sqrt(n4+3*n2)-sqrt(1+n2+n4)
- sqrtn4+3*n2-sqrt1+n2+n4
- sqrt(n⁴+3*n²)-sqrt(1+n²+n⁴)
- sqrt(n en el grado 4+3*n en el grado 2)-sqrt(1+n en el grado 2+n en el grado 4)
- sqrt(n^4+3n^2)-sqrt(1+n^2+n^4)
- sqrt(n4+3n2)-sqrt(1+n2+n4)
- sqrtn4+3n2-sqrt1+n2+n4
- sqrtn^4+3n^2-sqrt1+n^2+n^4
-
Expresiones semejantes
- sqrt(n^4+3*n^2)-sqrt(1+n^2-n^4)
- sqrt(n^4-3*n^2)-sqrt(1+n^2+n^4)
- sqrt(n^4+3*n^2)-sqrt(1-n^2+n^4)
- sqrt(n^4+3*n^2)+sqrt(1+n^2+n^4)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x+x^2)-sqrt(-1+x^2)
- sqrt(x)*log(tan(x))
- sqrt(4+x^2)-10*x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x^3-2*x^2)-sqrt(x^3+3*x)
- sqrt(x*(3+x))-x
- sqrt(x+x^2)-sqrt(-1+x^2)
- sqrt(x)*log(tan(x))
- sqrt(4+x^2)-10*x
Límite de la función sqrt(n^4+3*n^2)-sqrt(1+n^2+n^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___________ _____________\
| / 4 2 / 2 4 |
lim \\/ n + 3*n - \/ 1 + n + n /
n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit(sqrt(n^4 + 3*n^2) - sqrt(1 + n^2 + n^4), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) \left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}}\right)^{2} - \left(\sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n^{4} + \left(- n^{2} - 1\right)\right) + \left(n^{4} + 3 n^{2}\right)}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n^{2} - 1}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\frac{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}}}{n^{2}} + \frac{\sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}{n^{2}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{n^{4} + 3 n^{2}}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}{n^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 - u^{2}}{\sqrt{3 u^{2} + 1} + \sqrt{u^{4} + u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2 - 0^{2}}{\sqrt{3 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} + 0^{4} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) \left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}}\right)^{2} - \left(\sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right)^{2}}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- n^{4} + \left(- n^{2} - 1\right)\right) + \left(n^{4} + 3 n^{2}\right)}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n^{2} - 1}{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} + \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\frac{\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}}}{n^{2}} + \frac{\sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}}{n^{2}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{n^{4} + 3 n^{2}}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}{n^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 - \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 - u^{2}}{\sqrt{3 u^{2} + 1} + \sqrt{u^{4} + u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2 - 0^{2}}{\sqrt{3 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} + 0^{4} + 1}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 2 - \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 2 - \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = -1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 2 - \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 2 - \sqrt{3}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\sqrt{n^{4} + 3 n^{2}} - \sqrt{n^{4} + \left(n^{2} + 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo