Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{3 x}}{2} - \frac{1}{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(6 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{3 x} - 1}{2 \operatorname{asin}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{3 x} - 1}{2 \operatorname{asin}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{e^{3 x}}{2} - \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - 36 x^{2}} e^{3 x}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{4}$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)