Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{\log{\left(a x \right)}}{\log{\left(\frac{x}{a} \right)}} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(x \log{\left(a \right)} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \log{\left(a \right)} \right)} \log{\left(\frac{\log{\left(a x \right)}}{\log{\left(\frac{x}{a} \right)}} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \log{\left(a \right)} \right)} \log{\left(\frac{\log{\left(a x \right)}}{\log{\left(\frac{x}{a} \right)}} \right)}\right)$$
=
$$- \log{\left(\frac{1}{a} \right)} + \log{\left(a \right)}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)