Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{5} + 3 x + 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{5} + x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x + \left(1 - x^{5}\right)}{2 x^{5} + \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{5} + 3 x + 1}{2 x^{5} + x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{5} + 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{5} + x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - 5 x^{4}}{10 x^{4} + 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 - 5 x^{4}\right)}{\frac{d}{d x} \left(10 x^{4} + 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{20 x^{3}}{40 x^{3} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 20 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(40 x^{3} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)