$$\lim_{n \to \infty}\left(\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n + 2}{n} \right)} \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{n + 3}{n + 1} \right)}\right) = \frac{4}{\pi}$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n + 2}{n} \right)} \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{n + 3}{n + 1} \right)}\right) = \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda$$\lim_{n \to 0^+}\left(\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n + 2}{n} \right)} \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{n + 3}{n + 1} \right)}\right) = \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}$$
Más detalles con n→0 a la derecha$$\lim_{n \to 1^-}\left(\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n + 2}{n} \right)} \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{n + 3}{n + 1} \right)}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda$$\lim_{n \to 1^+}\left(\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n + 2}{n} \right)} \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{n + 3}{n + 1} \right)}\right) = \frac{\operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{\operatorname{atan}^{2}{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha$$\lim_{n \to -\infty}\left(\operatorname{atan}^{n}{\left(\frac{n + 2}{n} \right)} \operatorname{atan}^{- n - 1}{\left(\frac{n + 3}{n + 1} \right)}\right) = \frac{4}{\pi}$$
Más detalles con n→-oo