Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{4}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{4}{\left(2 x \right)}}{4 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{4}{\left(2 x \right)}}{4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{4}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} 4 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(8 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 8\right) \tan^{3}{\left(2 x \right)}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \tan^{3}{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \tan^{3}{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)