Sr Examen

Otras calculadoras:


sqrt(8+x^2+4*x)-x

Límite de la función sqrt(8+x^2+4*x)-x

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /   ______________    \
     |  /      2           |
 lim \\/  8 + x  + 4*x  - x/
x->oo                       
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right)$$
Limit(sqrt(8 + x^2 + 4*x) - x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) \left(x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right)}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \left(\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right)^{2}}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 8}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + 8}{x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}}\right)$$

Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{8}{x}}{1 + \frac{\sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{8}{x}}{\sqrt{\frac{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{8}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{8}{x^{2}}} + 1}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 + \frac{8}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{8}{x^{2}}} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{8 u + 4}{\sqrt{8 u^{2} + 4 u + 1} + 1}\right)$$ =
= $$\frac{0 \cdot 8 + 4}{1 + \sqrt{0 \cdot 4 + 8 \cdot 0^{2} + 1}} = 2$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) = 2$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) = 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) = 2 \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) = -1 + \sqrt{13}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) = -1 + \sqrt{13}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt{4 x + \left(x^{2} + 8\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
2
$$2$$
Gráfico
Límite de la función sqrt(8+x^2+4*x)-x