Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+e^x)/x
-
Límite de (3-sqrt(5+x))/(1-sqrt(5-x))
-
Límite de x^2
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x+x^ dos)-sqrt(x^ dos -x)
- raíz cuadrada de (x más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x al cuadrado menos x)
- raíz cuadrada de (x más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x en el grado dos menos x)
- √(x+x^2)-√(x^2-x)
- sqrt(x+x2)-sqrt(x2-x)
- sqrtx+x2-sqrtx2-x
- sqrt(x+x²)-sqrt(x²-x)
- sqrt(x+x en el grado 2)-sqrt(x en el grado 2-x)
- sqrtx+x^2-sqrtx^2-x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x+x^2)+sqrt(x^2-x)
- sqrt(x-x^2)-sqrt(x^2-x)
- sqrt(x+x^2)-sqrt(x^2+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x+4*x^2)-2*x
- sqrt(8+x^2+4*x)-x
- sqrt(1-cos(2*x))/|x|
- sqrt(-1+x)
- sqrt(4*x+9*x^2)-3*x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x+4*x^2)-2*x
- sqrt(8+x^2+4*x)-x
- sqrt(1-cos(2*x))/|x|
- sqrt(-1+x)
- sqrt(4*x+9*x^2)-3*x
Límite de la función sqrt(x+x^2)-sqrt(x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ x + x - \/ x - x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Limit(sqrt(x + x^2) - sqrt(x^2 - x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) \left(\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + x\right) + \left(x^{2} + x\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - u} + \sqrt{u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1 - 0}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) \left(\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x^{2} - x}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} + x\right) + \left(x^{2} + x\right)}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\frac{\sqrt{x^{2} - x}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{x^{2} - x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - u} + \sqrt{u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1 - 0}} = -1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = -1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x^{2} - x} + \sqrt{x^{2} + x}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
Gráfico