Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Límite de -cos(x)^3+x*tan(3*x)/cos(x)
-
Límite de (x+3^x)^(1/x)
- Límite de 0^x
-
Expresiones idénticas
- asin(tres *x)/(seis *x)
- ar coseno de eno de (3 multiplicar por x) dividir por (6 multiplicar por x)
- ar coseno de eno de (tres multiplicar por x) dividir por (seis multiplicar por x)
- asin(3x)/(6x)
- asin3x/6x
- asin(3*x) dividir por (6*x)
-
Expresiones semejantes
- arcsin(3*x)/(6*x)
-
Expresiones con funciones
- Arcoseno arcsin
- asin(2*x)/tan(3*x)
- asin(5*x)*sin(3*x)
- asin(5^(1/3)+(-2+x)^(1/3))/(-9+x^2)
- asin(t/4)
- asin(x^(1/4)/(x^2+x^(2/3)))
Límite de la función asin(3*x)/(6*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/asin(3*x)\ lim |---------| x->0+\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Limit(asin(3*x)/((6*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{3} \right)}}{\frac{1}{3} \sin{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{6} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{3} \right)}}{\frac{1}{3} \sin{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{6} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{6}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{2}$$
/sin(u)\
= 1/2 / ( lim |------| )
u->0+\ u / El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(6 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/asin(3*x)\ lim |---------| x->0+\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/asin(3*x)\ lim |---------| x->0-\ 6*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{6 x}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5