Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- x*(uno +x)/(seis - dos *x^ dos + dos *x)
- x multiplicar por (1 más x) dividir por (6 menos 2 multiplicar por x al cuadrado más 2 multiplicar por x)
- x multiplicar por (uno más x) dividir por (seis menos dos multiplicar por x en el grado dos más dos multiplicar por x)
- x*(1+x)/(6-2*x2+2*x)
- x*1+x/6-2*x2+2*x
- x*(1+x)/(6-2*x²+2*x)
- x*(1+x)/(6-2*x en el grado 2+2*x)
- x(1+x)/(6-2x^2+2x)
- x(1+x)/(6-2x2+2x)
- x1+x/6-2x2+2x
- x1+x/6-2x^2+2x
- x*(1+x) dividir por (6-2*x^2+2*x)
-
Expresiones semejantes
- x*(1-x)/(6-2*x^2+2*x)
- x*(1+x)/(6+2*x^2+2*x)
- x*(1+x)/(6-2*x^2-2*x)
Límite de la función x*(1+x)/(6-2*x^2+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x*(1 + x) \
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\6 - 2*x + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right)$$
Limit((x*(1 + x))/(6 - 2*x^2 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{-2 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{-2 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 1}{6 u^{2} + 2 u - 2}\right)$$
=
$$\frac{1}{-2 + 0 \cdot 2 + 6 \cdot 0^{2}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{-2 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{-2 + \frac{2}{x} + \frac{6}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u + 1}{6 u^{2} + 2 u - 2}\right)$$
=
$$\frac{1}{-2 + 0 \cdot 2 + 6 \cdot 0^{2}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + x + 3\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 \left(- x^{2} + x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x + 1\right)}{2}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{1 - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + x + 3\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 \left(- x^{2} + x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x \left(x + 1\right)}{2}}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{1 - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{2 x + \left(6 - 2 x^{2}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo