Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- dos ^(-log(n))* dos ^log(uno +n)
- 2 en el grado ( menos logaritmo de (n)) multiplicar por 2 en el grado logaritmo de (1 más n)
- dos en el grado ( menos logaritmo de (n)) multiplicar por dos en el grado logaritmo de (uno más n)
- 2(-log(n))*2log(1+n)
- 2-logn*2log1+n
- 2^(-log(n))2^log(1+n)
- 2(-log(n))2log(1+n)
- 2-logn2log1+n
- 2^-logn2^log1+n
-
Expresiones semejantes
- 2^(-log(n))*2^log(1-n)
- 2^(log(n))*2^log(1+n)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)/log(1+x)
- log(log(x))
- log(sin(m*x))/log(sin(x))
- log(1+3*x)/x
- log(x)/(-1+x^2)
- Logaritmo log
- log(x)/log(1+x)
- log(log(x))
- log(sin(m*x))/log(sin(x))
- log(1+3*x)/x
- log(x)/(-1+x^2)
Límite de la función 2^(-log(n))*2^log(1+n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -log(n) log(1 + n)\ lim \2 *2 / n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right)$$
Limit(2^(-log(n))*2^log(1 + n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} 2^{\log{\left(n \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{d}{d n} 2^{\log{\left(n \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{\log{\left(n + 1 \right)}}}{2^{\log{\left(n \right)}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{d}{d n} \left(2^{\log{\left(n \right)}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\left(\frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{3}} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{3}} + \frac{3 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{3}}}{\left(\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}\right)^{2} \left(- \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{n + 1} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{3}} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{3}} + \frac{3 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{3}}}{\left(\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}\right)^{2} \left(- \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{n + 1} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} 2^{\log{\left(n \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{d}{d n} 2^{\log{\left(n \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{\log{\left(n + 1 \right)}}}{2^{\log{\left(n \right)}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}}{\frac{d}{d n} \left(2^{\log{\left(n \right)}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\left(\frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}}}{\frac{d}{d n} \left(\frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{3}} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{3}} + \frac{3 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{3}}}{\left(\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}\right)^{2} \left(- \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{n + 1} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}} - \frac{2 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{3}} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}^{2}}{n^{3}} + \frac{3 \cdot 2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{3}}}{\left(\frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n} - \frac{2^{\log{\left(n \right)}}}{n^{2}} + \frac{2^{\log{\left(n \right)}} \log{\left(2 \right)}}{n^{2}}\right)^{2} \left(- \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}} n}{n + 1} + \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{2^{- \log{\left(n + 1 \right)}}}{n + 1}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(2^{- i \pi} \right)}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = e^{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = e^{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(2^{- i \pi} \right)}$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = e^{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = e^{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(2^{- \log{\left(n \right)}} 2^{\log{\left(n + 1 \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo