Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^(1-x)
-
Límite de (1-2/x)^x
-
Límite de -2+x
-
Límite de x^2/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- (dos - tres *x^ dos + dos *x)/(cinco -x^ dos + cuatro *x)
- (2 menos 3 multiplicar por x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por (5 menos x al cuadrado más 4 multiplicar por x)
- (dos menos tres multiplicar por x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por (cinco menos x en el grado dos más cuatro multiplicar por x)
- (2-3*x2+2*x)/(5-x2+4*x)
- 2-3*x2+2*x/5-x2+4*x
- (2-3*x²+2*x)/(5-x²+4*x)
- (2-3*x en el grado 2+2*x)/(5-x en el grado 2+4*x)
- (2-3x^2+2x)/(5-x^2+4x)
- (2-3x2+2x)/(5-x2+4x)
- 2-3x2+2x/5-x2+4x
- 2-3x^2+2x/5-x^2+4x
- (2-3*x^2+2*x) dividir por (5-x^2+4*x)
-
Expresiones semejantes
- (2-3*x^2-2*x)/(5-x^2+4*x)
- (2-3*x^2+2*x)/(5-x^2-4*x)
- (2+3*x^2+2*x)/(5-x^2+4*x)
- (2-3*x^2+2*x)/(5+x^2+4*x)
Límite de la función (2-3*x^2+2*x)/(5-x^2+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|2 - 3*x + 2*x|
lim |--------------|
x->oo| 2 |
\ 5 - x + 4*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right)$$
Limit((2 - 3*x^2 + 2*x)/(5 - x^2 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{-1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{-1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2} + 2 u - 3}{5 u^{2} + 4 u - 1}\right)$$
=
$$\frac{-3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0^{2}}{-1 + 0 \cdot 4 + 5 \cdot 0^{2}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{-1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-3 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{-1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u^{2} + 2 u - 3}{5 u^{2} + 4 u - 1}\right)$$
=
$$\frac{-3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0^{2}}{-1 + 0 \cdot 4 + 5 \cdot 0^{2}} = 3$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = 3$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{2} + 2 x + 2\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 4 x + 5\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 2}{- x^{2} + 4 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2} + 2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 4 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 6 x}{4 - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 - 6 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{2} + 2 x + 2\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + 4 x + 5\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + 2 x + 2}{- x^{2} + 4 x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 3 x^{2} + 2 x + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 4 x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 6 x}{4 - 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 - 6 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 - 2 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 3$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{2}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \left(2 - 3 x^{2}\right)}{4 x + \left(5 - x^{2}\right)}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo