Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^ cuatro *sin(x^(- dos))/(uno +x^ dos)
- x en el grado 4 multiplicar por seno de (x en el grado ( menos 2)) dividir por (1 más x al cuadrado )
- x en el grado cuatro multiplicar por seno de (x en el grado ( menos dos)) dividir por (uno más x en el grado dos)
- x4*sin(x(-2))/(1+x2)
- x4*sinx-2/1+x2
- x⁴*sin(x^(-2))/(1+x²)
- x en el grado 4*sin(x en el grado (-2))/(1+x en el grado 2)
- x^4sin(x^(-2))/(1+x^2)
- x4sin(x(-2))/(1+x2)
- x4sinx-2/1+x2
- x^4sinx^-2/1+x^2
- x^4*sin(x^(-2)) dividir por (1+x^2)
-
Expresiones semejantes
- x^4*sin(x^(2))/(1+x^2)
- x^4*sin(x^(-2))/(1-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(3*x)/(2*x)
- sin(3*x)/sin(5*x)
- sin(x)/x^2
- sin(3*x)/(5*x)
- sin(4*x)/tan(2*x)
Límite de la función x^4*sin(x^(-2))/(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 /1 \\
|x *sin|--||
| | 2||
| \x /|
lim |----------|
x->oo| 2 |
\ 1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
Limit((x^4*sin(x^(-2)))/(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - 2 x \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - 2 x \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - 2 x \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} - 2 x \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = \frac{\sin{\left(1 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo