Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{5 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{- 2 x} \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{7 x} - e^{2 x}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{5 x} - 1\right) e^{2 x}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{5 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} e^{- 2 x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 e^{5 x}}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{e^{- 2 x} \tan^{2}{\left(x \right)} - 2 e^{- 2 x} \tan{\left(x \right)} + e^{- 2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{e^{- 2 x} \tan^{2}{\left(x \right)} - 2 e^{- 2 x} \tan{\left(x \right)} + e^{- 2 x}}\right)$$
=
$$5$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)