Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
-
Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- asin(tres *x)/(cinco *x)
- ar coseno de eno de (3 multiplicar por x) dividir por (5 multiplicar por x)
- ar coseno de eno de (tres multiplicar por x) dividir por (cinco multiplicar por x)
- asin(3x)/(5x)
- asin3x/5x
- asin(3*x) dividir por (5*x)
-
Expresiones semejantes
- asin(3*x)/(5*x^2)
- arcsin(3*x)/(5*x)
-
Expresiones con funciones
- Arcoseno arcsin
- asin(-25+x^2)/log(6+x)
- asin(3*x)*cot(x)
- asin(x)/x
- asin(5*x)/tan(3*x)
- asin(x)/sin(x)
Límite de la función asin(3*x)/(5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/asin(3*x)\ lim |---------| x->oo\ 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Limit(asin(3*x)/((5*x)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{3} \right)}}{\frac{1}{3} \sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{3}{5}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}$$
$$x = \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$$
obtendremos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{3 \sin{\left(u \right)}}{3} \right)}}{\frac{1}{3} \sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \operatorname{asin}{\left(\sin{\left(u \right)} \right)}}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5} = \frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{5}$$
=
$$\frac{3 \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{\frac{1}{u} \sin{\left(u \right)}}}{5}$$
/sin(u)\
= 3/5 / ( lim |------| )
u->0+\ u / El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} = - \infty i$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
-oo*i/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)} = - \infty i$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} 5 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{5 \sqrt{1 - 9 x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/asin(3*x)\ lim |---------| x->0+\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
3/5
$$\frac{3}{5}$$
= 0.6
/asin(3*x)\ lim |---------| x->0-\ 5*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
3/5
$$\frac{3}{5}$$
= 0.6
= 0.6
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right) = \frac{\operatorname{asin}{\left(3 \right)}}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida
[src]
/asin(3*x)\ lim |---------| x->oo\ 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(3 x \right)}}{5 x}\right)$$
Gráfico