Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (x+sqrt(dos +x))/(uno +x)
- (x más raíz cuadrada de (2 más x)) dividir por (1 más x)
- (x más raíz cuadrada de (dos más x)) dividir por (uno más x)
- (x+√(2+x))/(1+x)
- x+sqrt2+x/1+x
- (x+sqrt(2+x)) dividir por (1+x)
-
Expresiones semejantes
- (x+sqrt(2+x))/(1-x)
- (x-sqrt(2+x))/(1+x)
- (x+sqrt(2-x))/(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
Límite de la función (x+sqrt(2+x))/(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______\
|x + \/ 2 + x |
lim |-------------|
x->-1+\ 1 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
Limit((x + sqrt(2 + x))/(1 + x), x, -1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- x + \sqrt{x + 2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1} \left(- x + \sqrt{x + 2}\right)}{- x + \sqrt{x + 2}}$$
=
$$\frac{- x^{2} + x + 2}{\left(- x + \sqrt{x + 2}\right) \left(x + 1\right)}$$
=
$$\frac{2 - x}{- x + \sqrt{x + 2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 - x}{- x + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\frac{3}{2}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$- x + \sqrt{x + 2}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1} \left(- x + \sqrt{x + 2}\right)}{- x + \sqrt{x + 2}}$$
=
$$\frac{- x^{2} + x + 2}{\left(- x + \sqrt{x + 2}\right) \left(x + 1\right)}$$
=
$$\frac{2 - x}{- x + \sqrt{x + 2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 - x}{- x + \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x + 2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + \sqrt{x + 2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \sqrt{x + 2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______\
|x + \/ 2 + x |
lim |-------------|
x->-1+\ 1 + x /
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
3/2
$$\frac{3}{2}$$
= 1.5
/ _______\
|x + \/ 2 + x |
lim |-------------|
x->-1-\ 1 + x /
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right)$$
3/2
$$\frac{3}{2}$$
= 1.5
= 1.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \sqrt{x + 2}}{x + 1}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico