Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(\pi \right)} + \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{3 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\pi} \right)}}{e^{3 x} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\pi} \right)}}{e^{3 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} \right)} - \log{\left(\pi \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{3 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{e^{- 3 x}}{3 \sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{acos}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{3 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{3 \pi}\right)$$
=
$$- \frac{2}{3 \pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)