Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+x^2-5*x
-
Límite de (-21+x^2+4*x)/(3-7*x+2*x^2)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(16+x^2-10*x)
-
Límite de (-35+x^2-2*x)/(5+2*x^2+11*x)
-
Expresiones idénticas
- log(uno +x^ dos -x)/log(tres +x^ dos + dos *x)
- logaritmo de (1 más x al cuadrado menos x) dividir por logaritmo de (3 más x al cuadrado más 2 multiplicar por x)
- logaritmo de (uno más x en el grado dos menos x) dividir por logaritmo de (tres más x en el grado dos más dos multiplicar por x)
- log(1+x2-x)/log(3+x2+2*x)
- log1+x2-x/log3+x2+2*x
- log(1+x²-x)/log(3+x²+2*x)
- log(1+x en el grado 2-x)/log(3+x en el grado 2+2*x)
- log(1+x^2-x)/log(3+x^2+2x)
- log(1+x2-x)/log(3+x2+2x)
- log1+x2-x/log3+x2+2x
- log1+x^2-x/log3+x^2+2x
- log(1+x^2-x) dividir por log(3+x^2+2*x)
-
Expresiones semejantes
- log(1+x^2-x)/log(3-x^2+2*x)
- log(1+x^2+x)/log(3+x^2+2*x)
- log(1-x^2-x)/log(3+x^2+2*x)
- log(1+x^2-x)/log(3+x^2-2*x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x+x^2)*sin(x)
- log(1-sec(x)+cos(x))/acot(x)
- log(x)^(3/2)/x^3
- log(1+sqrt(x)+x^(1/3))/log(1+x^(1/3)+x^(1/4))
- log(1+x^2020)/log(x)
- Logaritmo log
- log(x+x^2)*sin(x)
- log(1-sec(x)+cos(x))/acot(x)
- log(x)^(3/2)/x^3
- log(1+sqrt(x)+x^(1/3))/log(1+x^(1/3)+x^(1/4))
- log(1+x^2020)/log(x)
Límite de la función log(1+x^2-x)/log(3+x^2+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 2 \ \
| log\1 + x - x/ |
lim |-----------------|
x->oo| / 2 \|
\log\3 + x + 2*x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right)$$
Limit(log(1 + x^2 - x)/log(3 + x^2 + 2*x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} + 2 x + 3 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{\log{\left(x^{2} + 2 x + 3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(x^{2} + 2 x + 3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x + 3\right)}{\left(2 x + 2\right) \left(x^{2} - x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(2 x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x + 3\right)}{2 x + 2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 x^{3}}{4 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{6 x^{2}}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2 x^{2}}{2 x + 2} + 2 x - \frac{8 x}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 1 + \frac{6}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{6}{2 x + 2}}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 x^{3}}{4 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{6 x^{2}}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2 x^{2}}{2 x + 2} + 2 x - \frac{8 x}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 1 + \frac{6}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{6}{2 x + 2}}{2 x - 1}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x^{2} + 2 x + 3 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{\log{\left(x^{2} + 2 x + 3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(x^{2} + 2 x + 3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x + 3\right)}{\left(2 x + 2\right) \left(x^{2} - x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\left(2 x - 1\right) \left(x^{2} + 2 x + 3\right)}{2 x + 2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 x^{3}}{4 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{6 x^{2}}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2 x^{2}}{2 x + 2} + 2 x - \frac{8 x}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 1 + \frac{6}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{6}{2 x + 2}}{2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 x^{3}}{4 x^{2} + 8 x + 4} - \frac{6 x^{2}}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{2 x^{2}}{2 x + 2} + 2 x - \frac{8 x}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 1 + \frac{6}{4 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{6}{2 x + 2}}{2 x - 1}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right) \right)}}{\log{\left(2 x + \left(x^{2} + 3\right) \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo