Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+x^2-5*x
-
Límite de (-21+x^2+4*x)/(3-7*x+2*x^2)
-
Límite de (-10+x^2+3*x)/(16+x^2-10*x)
-
Límite de (-35+x^2-2*x)/(5+2*x^2+11*x)
-
Expresiones idénticas
- log(x+x^ dos)*sin(x)
- logaritmo de (x más x al cuadrado ) multiplicar por seno de (x)
- logaritmo de (x más x en el grado dos) multiplicar por seno de (x)
- log(x+x2)*sin(x)
- logx+x2*sinx
- log(x+x²)*sin(x)
- log(x+x en el grado 2)*sin(x)
- log(x+x^2)sin(x)
- log(x+x2)sin(x)
- logx+x2sinx
- logx+x^2sinx
-
Expresiones semejantes
- log(x-x^2)*sin(x)
- log(x+x^2)*sinx
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1-sec(x)+cos(x))/acot(x)
- log(x)^(3/2)/x^3
- log(1+sqrt(x)+x^(1/3))/log(1+x^(1/3)+x^(1/4))
- log(1+x^2-x)/log(3+x^2+2*x)
- log(1+x^2020)/log(x)
- Seno sin
- sin(2*x)/(4*tan(3*x))
- sin(x)*sin(7*x)/(x^2+3*x^3)
- sin(-1+3*x)*tan(3*p*x/2)
- sin(3*x)/(2+x^2)
- sin(x)^2*(-sin(x)+sinh(x))/x
Límite de la función log(x+x^2)*sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 2\ \ lim \log\x + x /*sin(x)/ x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
Limit(log(x + x^2)*sin(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(x + 1\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(x + 1\right) \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \left(- \frac{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \left(2 x + 1\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2}}{2 \left(x + 1\right)}\right)}{- x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{3 x \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{x + 1} - \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{2 \left(x + 1\right)}}{- x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{3 x \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{x + 1} - \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{2 \left(x + 1\right)}}{- x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(x + 1\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(x + 1\right) \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{x \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} \left(- \frac{\log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \left(2 x + 1\right) \log{\left(x \left(x + 1\right) \right)}^{2}}{2 \left(x + 1\right)}\right)}{- x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{3 x \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{x + 1} - \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{2 \left(x + 1\right)}}{- x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{3 x \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{x + 1} - \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(x^{2} + x \right)}^{2}}{2 \left(x + 1\right)}}{- x \cos{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \log{\left(2 \right)} \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ / 2\ \ lim \log\x + x /*sin(x)/ x->0+
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
0
$$0$$
= -0.0018738130203657
/ / 2\ \ lim \log\x + x /*sin(x)/ x->0-
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(x^{2} + x \right)} \sin{\left(x \right)}\right)$$
0
$$0$$
= (0.00189767267472287 - 0.000771526953195191j)
= (0.00189767267472287 - 0.000771526953195191j)