Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} + e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} - e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{3}{\left(x \right)}}{6} + \frac{e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{6}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{\sin{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{\sin{\left(x \right)}} \cos^{3}{\left(x \right)}}{6} + \frac{e^{\sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{6}\right)$$
=
$$\frac{1}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)