Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x^(-2)
-
Límite de atan(x)
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Expresiones idénticas
- sqrt((uno +n)^n)*sqrt(uno +n)/sqrt(n^n)
- raíz cuadrada de ((1 más n) en el grado n) multiplicar por raíz cuadrada de (1 más n) dividir por raíz cuadrada de (n en el grado n)
- raíz cuadrada de ((uno más n) en el grado n) multiplicar por raíz cuadrada de (uno más n) dividir por raíz cuadrada de (n en el grado n)
- √((1+n)^n)*√(1+n)/√(n^n)
- sqrt((1+n)n)*sqrt(1+n)/sqrt(nn)
- sqrt1+nn*sqrt1+n/sqrtnn
- sqrt((1+n)^n)sqrt(1+n)/sqrt(n^n)
- sqrt((1+n)n)sqrt(1+n)/sqrt(nn)
- sqrt1+nnsqrt1+n/sqrtnn
- sqrt1+n^nsqrt1+n/sqrtn^n
- sqrt((1+n)^n)*sqrt(1+n) dividir por sqrt(n^n)
-
Expresiones semejantes
- sqrt((1+n)^n)*sqrt(1-n)/sqrt(n^n)
- sqrt((1-n)^n)*sqrt(1+n)/sqrt(n^n)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+x^2)-x
- sqrt(x^2-x)-x
- sqrt(1+x)/sqrt(x)
- sqrt(x/(1+x))
- sqrt(3+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+x^2)-x
- sqrt(x^2-x)-x
- sqrt(1+x)/sqrt(x)
- sqrt(x/(1+x))
- sqrt(3+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x+x^2)-x
- sqrt(x^2-x)-x
- sqrt(1+x)/sqrt(x)
- sqrt(x/(1+x))
- sqrt(3+x)
Límite de la función sqrt((1+n)^n)*sqrt(1+n)/sqrt(n^n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________ \
| / n _______|
|\/ (1 + n) *\/ 1 + n |
lim |-----------------------|
n->oo| ____ |
| / n |
\ \/ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right)$$
Limit((sqrt((1 + n)^n)*sqrt(1 + n))/sqrt(n^n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\frac{d}{d n} \frac{\sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{2}\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\frac{\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}} - \frac{\sqrt{n^{n}}}{2 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{2}\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\frac{\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}} - \frac{\sqrt{n^{n}}}{2 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\frac{d}{d n} \frac{\sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{2}\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\frac{\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}} - \frac{\sqrt{n^{n}}}{2 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{n}{2 \left(n + 1\right)} + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{2}\right) \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\frac{\left(\frac{\log{\left(n \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{n^{n}}}{\sqrt{n + 1}} - \frac{\sqrt{n^{n}}}{2 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = 2$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n + 1} \sqrt{\left(n + 1\right)^{n}}}{\sqrt{n^{n}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con n→-oo