Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- (x+sqrt(x))/(- uno +sqrt(uno +x))
- (x más raíz cuadrada de (x)) dividir por ( menos 1 más raíz cuadrada de (1 más x))
- (x más raíz cuadrada de (x)) dividir por ( menos uno más raíz cuadrada de (uno más x))
- (x+√(x))/(-1+√(1+x))
- x+sqrtx/-1+sqrt1+x
- (x+sqrt(x)) dividir por (-1+sqrt(1+x))
-
Expresiones semejantes
- (x+sqrt(x))/(-1+sqrt(1-x))
- (x-sqrt(x))/(-1+sqrt(1+x))
- (x+sqrt(x))/(1+sqrt(1+x))
- (x+sqrt(x))/(-1-sqrt(1+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
Límite de la función (x+sqrt(x))/(-1+sqrt(1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ \
| x + \/ x |
lim |--------------|
x->oo| _______|
\-1 + \/ 1 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right)$$
Limit((x + sqrt(x))/(-1 + sqrt(1 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + x\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{\frac{3}{2}} \left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{2}}{\sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x^{\frac{3}{2}}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(12 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 12 \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{x + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{12 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{12 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} + x\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + x\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right) \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x + 1}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{\frac{3}{2}} \left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{2}}{\sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x^{\frac{3}{2}}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(12 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 12 \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{x + 1}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{12 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{12 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)}{\sqrt{x}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 4 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = - \infty i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \frac{2}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x + 1} - 1}\right) = \infty i$$
Más detalles con x→-oo