Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Límite de -cos(x)^3+x*tan(3*x)/cos(x)
-
Límite de (x+3^x)^(1/x)
- Límite de 0^x
-
Expresiones idénticas
- sqrt(dos +x^ tres +x^ cuatro -x^ dos)-sqrt(dos +x^ dos +x^ cuatro -x^ tres)
- raíz cuadrada de (2 más x al cubo más x en el grado 4 menos x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (2 más x al cuadrado más x en el grado 4 menos x al cubo )
- raíz cuadrada de (dos más x en el grado tres más x en el grado cuatro menos x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (dos más x en el grado dos más x en el grado cuatro menos x en el grado tres)
- √(2+x^3+x^4-x^2)-√(2+x^2+x^4-x^3)
- sqrt(2+x3+x4-x2)-sqrt(2+x2+x4-x3)
- sqrt2+x3+x4-x2-sqrt2+x2+x4-x3
- sqrt(2+x³+x⁴-x²)-sqrt(2+x²+x⁴-x³)
- sqrt(2+x en el grado 3+x en el grado 4-x en el grado 2)-sqrt(2+x en el grado 2+x en el grado 4-x en el grado 3)
- sqrt2+x^3+x^4-x^2-sqrt2+x^2+x^4-x^3
-
Expresiones semejantes
- sqrt(2+x^3+x^4-x^2)+sqrt(2+x^2+x^4-x^3)
- sqrt(2-x^3+x^4-x^2)-sqrt(2+x^2+x^4-x^3)
- sqrt(2+x^3+x^4+x^2)-sqrt(2+x^2+x^4-x^3)
- sqrt(2+x^3+x^4-x^2)-sqrt(2+x^2-x^4-x^3)
- sqrt(2+x^3+x^4-x^2)-sqrt(2+x^2+x^4+x^3)
- sqrt(2+x^3+x^4-x^2)-sqrt(2-x^2+x^4-x^3)
- sqrt(2+x^3-x^4-x^2)-sqrt(2+x^2+x^4-x^3)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt((1+x)*(2+x))-sqrt((-1+x)*(3+x))
- sqrt(x^2+5*x)-sqrt(4+x^2)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2-2*x)
Límite de la función sqrt(2+x^3+x^4-x^2)-sqrt(2+x^2+x^4-x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
/ __________________ __________________\
| / 3 4 2 / 2 4 3 |
lim \\/ 2 + x + x - x - \/ 2 + x + x - x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right)$$
Limit(sqrt(2 + x^3 + x^4 - x^2) - sqrt(2 + x^2 + x^4 - x^3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) \left(\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}\right)}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}\right)^{2}}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} + \left(- x^{4} + \left(- x^{2} - 2\right)\right)\right) + \left(x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2\right)}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} - 2 x^{2}}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\frac{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}{x^{2}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\sqrt{\frac{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{x^{4}}} + \sqrt{\frac{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}{x^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{-2 + \frac{2}{u}}{\sqrt{2 u^{4} - u^{2} + u + 1} + \sqrt{2 u^{4} + u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-2 + \frac{2}{0}}{\sqrt{- 0^{2} + 2 \cdot 0^{4} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 2 \cdot 0^{4} + 1}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) \left(\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}\right)}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}\right)^{2}}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} + \left(- x^{4} + \left(- x^{2} - 2\right)\right)\right) + \left(x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2\right)}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{3} - 2 x^{2}}{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)} + \sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\frac{\sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}}{x^{2}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\sqrt{\frac{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{x^{4}}} + \sqrt{\frac{x^{4} + x^{3} - x^{2} + 2}{x^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{-2 + \frac{2}{u}}{\sqrt{2 u^{4} - u^{2} + u + 1} + \sqrt{2 u^{4} + u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-2 + \frac{2}{0}}{\sqrt{- 0^{2} + 2 \cdot 0^{4} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 2 \cdot 0^{4} + 1}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x^{2} + \left(x^{4} + \left(x^{3} + 2\right)\right)} - \sqrt{- x^{3} + \left(x^{4} + \left(x^{2} + 2\right)\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo