Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (3-2*x)^(x/(1-x))
-
Límite de (sqrt(3+2*x)-sqrt(4+x))/(1-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1-log(7*x))^(7*x)
-
Expresiones idénticas
- cinco ^(-x)*x^x/factorial(x)
- 5 en el grado ( menos x) multiplicar por x en el grado x dividir por factorial(x)
- cinco en el grado ( menos x) multiplicar por x en el grado x dividir por factorial(x)
- 5(-x)*xx/factorial(x)
- 5-x*xx/factorialx
- 5^(-x)x^x/factorial(x)
- 5(-x)xx/factorial(x)
- 5-xxx/factorialx
- 5^-xx^x/factorialx
- 5^(-x)*x^x dividir por factorial(x)
-
Expresiones semejantes
- 5^(x)*x^x/factorial(x)
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(x)^(1/x)/x
- factorial(n)/(2+n^2)
- factorial(-1+n)/(-factorial(-1+n)+factorial(1+n))
- factorial(-1+x)*exp(x)/factorial(x)
- factorial(x)/(-factorial(n)+factorial(1+x))
Límite de la función 5^(-x)*x^x/factorial(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x x\
|5 *x |
lim |------|
x->oo\ x! /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right)$$
Limit((5^(-x)*x^x)/factorial(x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x}}{x!}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 5^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{x}}{x!}}{\frac{d}{d x} 5^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} \left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x!} + \frac{x^{x}}{x!} - \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}\right)}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} \left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x!} + \frac{x^{x}}{x!} - \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}\right)}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x}}{x!}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 5^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{x}}{x!}}{\frac{d}{d x} 5^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} \left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x!} + \frac{x^{x}}{x!} - \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}\right)}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} \left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x!} + \frac{x^{x}}{x!} - \frac{x^{x} \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x!^{2}}\right)}{\log{\left(5 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = \frac{\infty}{\left(-\infty\right)!}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5^{- x} x^{x}}{x!}\right) = \frac{\infty}{\left(-\infty\right)!}$$
Más detalles con x→-oo