Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- factorial(x)^(uno /x)/x
- factorial(x) en el grado (1 dividir por x) dividir por x
- factorial(x) en el grado (uno dividir por x) dividir por x
- factorial(x)(1/x)/x
- factorialx1/x/x
- factorialx^1/x/x
- factorial(x)^(1 dividir por x) dividir por x
-
Expresiones con funciones
- factorial
- factorial(n)/(2+n^2)
- factorial(-1+x)*exp(x)/factorial(x)
- factorial(x)/(-factorial(n)+factorial(1+x))
- factorial(1+x)^2*factorial(2*x)/(factorial(x)^2*factorial(2+2*x))
- factorial(n)+factorial(1+n)
Límite de la función factorial(x)^(1/x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/x ____\
|\/ x! |
lim |------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right)$$
Limit(factorial(x)^(1/x)/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x!^{\frac{1}{x}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!^{\frac{1}{x}}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!} - \frac{\log{\left(x! \right)}}{x^{2}}\right) x!^{\frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!} - \frac{\log{\left(x! \right)}}{x^{2}}\right) x!^{\frac{1}{x}}\right)$$
=
$$e^{-1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x!^{\frac{1}{x}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x!^{\frac{1}{x}}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!} - \frac{\log{\left(x! \right)}}{x^{2}}\right) x!^{\frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{\Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{x x!} - \frac{\log{\left(x! \right)}}{x^{2}}\right) x!^{\frac{1}{x}}\right)$$
=
$$e^{-1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x!^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo