Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + \operatorname{acot}{\left(5 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{5}{2 \left(25 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{5}{2 \left(25 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)