Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (dos + dos *x)/(x*(-log(x)+ dos *x))
- (2 más 2 multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por ( menos logaritmo de (x) más 2 multiplicar por x))
- (dos más dos multiplicar por x) dividir por (x multiplicar por ( menos logaritmo de (x) más dos multiplicar por x))
- (2+2x)/(x(-log(x)+2x))
- 2+2x/x-logx+2x
- (2+2*x) dividir por (x*(-log(x)+2*x))
-
Expresiones semejantes
- (2-2*x)/(x*(-log(x)+2*x))
- (2+2*x)/(x*(log(x)+2*x))
- (2+2*x)/(x*(-log(x)-2*x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- log((1+x)/(1-x))/x
Límite de la función (2+2*x)/(x*(-log(x)+2*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 + 2*x \ lim |-----------------| x->0+\x*(-log(x) + 2*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
Limit((2 + 2*x)/((x*(-log(x) + 2*x))), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2 x - \log{\left(x \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2 \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(x + 1\right)}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 x - \log{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{2 \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right) \left(\frac{4 x^{2}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4 x \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{4 x^{2}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4 x \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x \left(- 2 x - 2\right)}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)^{2} \left(\frac{8 x}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{4}{\left(-2 + \frac{1}{x}\right)^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \left(-2 + \frac{1}{x}\right)} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x \left(-2 + \frac{1}{x}\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2} \left(-2 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x^{2}}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} - \frac{x}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} + \frac{1}{- \frac{4 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{8 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}}\right) \left(\frac{8 x}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{4 x^{2} - 4 x + 1} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{4 x - 4 + \frac{1}{x}} + \frac{4}{4 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{1 - 2 x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x^{2}}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} - \frac{x}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} + \frac{1}{- \frac{4 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{8 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}}\right) \left(\frac{8 x}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{4 x^{2} - 4 x + 1} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{4 x - 4 + \frac{1}{x}} + \frac{4}{4 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{1 - 2 x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2 x - \log{\left(x \right)}} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{2 \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(x + 1\right)}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{2 x - \log{\left(x \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{2 \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right) \left(\frac{4 x^{2}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4 x \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{4 x^{2}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4 x \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x \left(- 2 x - 2\right)}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)^{2}}}{\left(- \frac{x}{2 \left(x^{2} + 2 x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)^{2} \left(\frac{8 x}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{4}{\left(-2 + \frac{1}{x}\right)^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x \left(-2 + \frac{1}{x}\right)} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x \left(-2 + \frac{1}{x}\right)^{2}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2} \left(-2 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x^{2}}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} - \frac{x}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} + \frac{1}{- \frac{4 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{8 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}}\right) \left(\frac{8 x}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{4 x^{2} - 4 x + 1} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{4 x - 4 + \frac{1}{x}} + \frac{4}{4 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{1 - 2 x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x^{2}}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} - \frac{x}{- \frac{4 x^{6}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{20 x^{5}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{40 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{4}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{40 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{20 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{24 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{16 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}} + \frac{1}{- \frac{4 x^{4}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{3}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} - \frac{12 x^{2}}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{8 x}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}}\right) \left(\frac{8 x}{-2 + \frac{1}{x}} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{4 x^{2} - 4 x + 1} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{4 x - 4 + \frac{1}{x}} + \frac{4}{4 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{1 - 2 x} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{-2 + \frac{1}{x}} - \frac{4}{-2 + \frac{1}{x}}\right)}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 + 2*x \ lim |-----------------| x->0+\x*(-log(x) + 2*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
oo
$$\infty$$
= 60.4310698904031
/ 2 + 2*x \ lim |-----------------| x->0-\x*(-log(x) + 2*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x + 2}{x \left(2 x - \log{\left(x \right)}\right)}\right)$$
-oo
$$-\infty$$
= (-43.0023427762985 - 26.9973830024555j)
= (-43.0023427762985 - 26.9973830024555j)