Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- n*(- uno +log(uno +n)/log(n))
- n multiplicar por ( menos 1 más logaritmo de (1 más n) dividir por logaritmo de (n))
- n multiplicar por ( menos uno más logaritmo de (uno más n) dividir por logaritmo de (n))
- n(-1+log(1+n)/log(n))
- n-1+log1+n/logn
- n*(-1+log(1+n) dividir por log(n))
-
Expresiones semejantes
- n*(1+log(1+n)/log(n))
- n*(-1+log(1-n)/log(n))
- n*(-1-log(1+n)/log(n))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/log(x)
- log(1+sin(x))/sin(4*x)
- log(tan(x))/cos(2*x)
- log(x)/(1-x^3)
- log(cos(2*x))/x^2
- Logaritmo log
- log(1+x)/log(x)
- log(1+sin(x))/sin(4*x)
- log(tan(x))/cos(2*x)
- log(x)/(1-x^3)
- log(cos(2*x))/x^2
Límite de la función n*(-1+log(1+n)/log(n))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / log(1 + n)\\ lim |n*|-1 + ----------|| n->oo\ \ log(n) //
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right)$$
Limit(n*(-1 + log(1 + n)/log(n)), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{\log{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}\right)}{\log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{n}{\log{\left(n \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)} - 2 \log{\left(n + 1 \right)} - 1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}} + \frac{2 \log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}} - \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}^{2}}}{- \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)} - 2 \log{\left(n + 1 \right)} - 1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}} + \frac{2 \log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}} - \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}^{2}}}{- \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{\log{\left(n \right)}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}\right)}{\log{\left(n \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{n}{\log{\left(n \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{- \log{\left(n \right)} + \log{\left(n + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)} - 2 \log{\left(n + 1 \right)} - 1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}} + \frac{2 \log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}} - \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}^{2}}}{- \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)} - 2 \log{\left(n + 1 \right)} - 1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}} + \frac{2 \log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}} - \frac{\log{\left(n + 1 \right)}^{2}}{\log{\left(n \right)}^{2}}}{- \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(n \left(-1 + \frac{\log{\left(n + 1 \right)}}{\log{\left(n \right)}}\right)\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo