Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 \sin{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} -1$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} -1$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)