Sr Examen

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log(tan(x))/cos(2*x)
Límite de la función/ tan(x)/ cos(2*x)/ log(tan(x))/cos(2*x)

Límite de la función log(tan(x))/cos(2*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /log(tan(x))\
 lim  |-----------|
   pi \  cos(2*x) /
x->--+             
   4
lim⁡x→π4+(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) 
Limit(log(tan(x))/cos(2*x), x, pi/4)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π4+log⁡(tan⁡(x))=0\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π4+cos⁡(2x)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \cos{\left(2 x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π4+(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π4+(ddxlog⁡(tan⁡(x))ddxcos⁡(2x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\frac{d}{d x} \cos{\left(2 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π4+(−tan⁡2(x)+12sin⁡(2x)tan⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 \sin{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π4+−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} -1
=
lim⁡x→π4+−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} -1
=
−1-1
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-1.50-1.25-1.00-0.75-0.50-0.250.000.250.500.751.001.251.500-50
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
-1
−1-1
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /log(tan(x))\
 lim  |-----------|
   pi \  cos(2*x) /
x->--+             
   4
lim⁡x→π4+(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) 
-1
−1-1 
= -1.0
      /log(tan(x))\
 lim  |-----------|
   pi \  cos(2*x) /
x->---             
   4
lim⁡x→π4−(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) 
-1
−1-1 
= -1.0
= -1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π4−(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))=−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = -1
Más detalles con x→pi/4 a la izquierda
lim⁡x→π4+(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))=−1\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = -1
lim⁡x→∞(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = -\infty
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = -\infty
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))=log⁡(tan⁡(1))cos⁡(2)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{\log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)}}{\cos{\left(2 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))=log⁡(tan⁡(1))cos⁡(2)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right) = \frac{\log{\left(\tan{\left(1 \right)} \right)}}{\cos{\left(2 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(log⁡(tan⁡(x))cos⁡(2x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
-1.0
-1.0
Gráfico
Límite de la función log(tan(x))/cos(2*x)
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