Sr Examen

Otras calculadoras:

log(1+x^2)/(-e^(-x)+cos(3*x))
Límite de la función/ log(1+x^2)/(-e^(-x)+cos(3*x))

Límite de la función log(1+x^2)/(-e^(-x)+cos(3*x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /     /     2\   \
     |  log\1 + x /   |
 lim |----------------|
x->0+|   -x           |
     \- E   + cos(3*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right)$$ 
Limit(log(1 + x^2)/(-E^(-x) + cos(3*x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \cos{\left(3 x \right)} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{e^{x} \cos{\left(3 x \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} \cos{\left(3 x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 x e^{x}}{x^{2} + 1} + e^{x} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{- 3 e^{x} \sin{\left(3 x \right)} + e^{x} \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 x e^{x}}{x^{2} + 1} + e^{x} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{- 3 e^{x} \sin{\left(3 x \right)} + e^{x} \cos{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /     /     2\   \
     |  log\1 + x /   |
 lim |----------------|
x->0+|   -x           |
     \- E   + cos(3*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right)$$ 
0
$$0$$ 
= 1.22558102899473e-27
     /     /     2\   \
     |  log\1 + x /   |
 lim |----------------|
x->0-|   -x           |
     \- E   + cos(3*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right)$$ 
0
$$0$$ 
= -2.2489364380847e-27
= -2.2489364380847e-27
Respuesta rápida [src] 
0
$$0$$
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right) = \frac{e \log{\left(2 \right)}}{e \cos{\left(3 \right)} - 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right) = \frac{e \log{\left(2 \right)}}{e \cos{\left(3 \right)} - 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x \right)} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
1.22558102899473e-27
1.22558102899473e-27
Gráfico
Límite de la función log(1+x^2)/(-e^(-x)+cos(3*x))
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