Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\log{\left(x \right)}}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{x}}\right)^{\log{\left(x \right)}}$$ =
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\tilde{\infty}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \text{NaN} \lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}$$
=
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to 0^+} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}} = e^{\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \tilde{\infty}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\log{\left(x \right)}} = 1$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
$$\lim_{x \to 0^+} \left(x + 1\right)^{\log{\left(x \right)}}$$
$$1$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(x + 1\right)^{\log{\left(x \right)}}$$
$$1$$
= (1.00194097958041 - 0.000845568822175694j)
= (1.00194097958041 - 0.000845568822175694j)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1