Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (4+x^3+5*x^2+8*x)/(-4+x^3+3*x^2)
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(-1+x)-sqrt(7-x))/(-4+x)
-
Expresiones idénticas
- log((uno +x)/(uno -x))/(dos *x)
- logaritmo de ((1 más x) dividir por (1 menos x)) dividir por (2 multiplicar por x)
- logaritmo de ((uno más x) dividir por (uno menos x)) dividir por (dos multiplicar por x)
- log((1+x)/(1-x))/(2x)
- log1+x/1-x/2x
- log((1+x) dividir por (1-x)) dividir por (2*x)
-
Expresiones semejantes
- log((1+x)/(1+x))/(2*x)
- log((1-x)/(1-x))/(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(7+x)/(-3+x)^(1/7)
- log(x)/(1-x)^2
- log(log(x))/(x-e)
- log(2+sqrt(x))/log(6+x^(1/6))
- log(3+2*x)
Límite de la función log((1+x)/(1-x))/(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1 + x\\
|log|-----||
| \1 - x/|
lim |----------|
x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right)$$
Limit(log((1 + x)/(1 - x))/((2*x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x} \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{\left(1 - x\right)^{2}} + \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}}}{2 \left(\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x} \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{\left(1 - x\right)^{2}} + \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}}}{2 \left(\frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /1 + x\\
|log|-----||
| \1 - x/|
lim |----------|
x->0+\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ /1 + x\\
|log|-----||
| \1 - x/|
lim |----------|
x->0-\ 2*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 1}{1 - x} \right)}}{2 x}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1