Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- log(dos +sqrt(x))/log(seis +x^(uno / seis))
- logaritmo de (2 más raíz cuadrada de (x)) dividir por logaritmo de (6 más x en el grado (1 dividir por 6))
- logaritmo de (dos más raíz cuadrada de (x)) dividir por logaritmo de (seis más x en el grado (uno dividir por seis))
- log(2+√(x))/log(6+x^(1/6))
- log(2+sqrt(x))/log(6+x(1/6))
- log2+sqrtx/log6+x1/6
- log2+sqrtx/log6+x^1/6
- log(2+sqrt(x)) dividir por log(6+x^(1 dividir por 6))
-
Expresiones semejantes
- log(2-sqrt(x))/log(6+x^(1/6))
- log(2+sqrt(x))/log(6-x^(1/6))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- log((1+x)/(1-x))/x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
- Logaritmo log
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log(-cos(x)+sin(x))
- log(2+sqrt(atan(x)*sin(1/x)))
- log(1+sin(2*x))/sin(3*x)
- log((1+x)/(1-x))/x
Límite de la función log(2+sqrt(x))/log(6+x^(1/6))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / ___\\
|log\2 + \/ x /|
lim |--------------|
x->oo| / 6 ___\|
\log\6 + \/ x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right)$$
Limit(log(2 + sqrt(x))/log(6 + x^(1/6)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(\sqrt[6]{x} + 6\right)}{\sqrt{x} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 \sqrt[3]{x} \left(\sqrt[6]{x} + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt[6]{x} + 6}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt[6]{x} + 6}{x^{\frac{2}{3}}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{9}{4 x} + \frac{36}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{18}{x^{\frac{7}{6}}}}{\sqrt{x} \left(\frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{9}{4 x} + \frac{36}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{18}{x^{\frac{7}{6}}}}{\sqrt{x} \left(\frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(\sqrt[6]{x} + 6\right)}{\sqrt{x} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 \sqrt[3]{x} \left(\sqrt[6]{x} + 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \sqrt{x} \left(\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt[6]{x} + 6}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt[6]{x} + 6}{x^{\frac{2}{3}}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{9}{4 x} + \frac{36}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{18}{x^{\frac{7}{6}}}}{\sqrt{x} \left(\frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{9}{4 x} + \frac{36}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{18}{x^{\frac{7}{6}}}}{\sqrt{x} \left(\frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{3}}}\right)}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{x} + 2 \right)}}{\log{\left(\sqrt[6]{x} + 6 \right)}}\right) = 3$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico