Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
-
Límite de (7-3*x^2+5*x^4)/(1+x^4+2*x^3)
-
Límite de (1+3*n)/(2+n)
-
Límite de (-2+x)^(-2)
-
Expresiones idénticas
- (- dos +sqrt(cuatro + dos *x))/(- tres +sqrt(nueve +x))
- ( menos 2 más raíz cuadrada de (4 más 2 multiplicar por x)) dividir por ( menos 3 más raíz cuadrada de (9 más x))
- ( menos dos más raíz cuadrada de (cuatro más dos multiplicar por x)) dividir por ( menos tres más raíz cuadrada de (nueve más x))
- (-2+√(4+2*x))/(-3+√(9+x))
- (-2+sqrt(4+2x))/(-3+sqrt(9+x))
- -2+sqrt4+2x/-3+sqrt9+x
- (-2+sqrt(4+2*x)) dividir por (-3+sqrt(9+x))
-
Expresiones semejantes
- (-2+sqrt(4+2*x))/(3+sqrt(9+x))
- (-2+sqrt(4+2*x))/(-3-sqrt(9+x))
- (-2+sqrt(4+2*x))/(-3+sqrt(9-x))
- (2+sqrt(4+2*x))/(-3+sqrt(9+x))
- (-2+sqrt(4-2*x))/(-3+sqrt(9+x))
- (-2-sqrt(4+2*x))/(-3+sqrt(9+x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(4+x)-sqrt(6)/(-8+x^2+2*x)
- sqrt(2)*(-2+x)^n/(2*sqrt(pi)*sqrt(n))
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+x+x^2)-sqrt(1+x^2-3*x)
- sqrt(x^2+2*x)-sqrt(x^2+3*x)
- sqrt(4+x)-sqrt(6)/(-8+x^2+2*x)
- sqrt(2)*(-2+x)^n/(2*sqrt(pi)*sqrt(n))
- sqrt(2+x^2-x)-sqrt(-3+x^2)
Límite de la función (-2+sqrt(4+2*x))/(-3+sqrt(9+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________\
|-2 + \/ 4 + 2*x |
lim |----------------|
x->0+| _______ |
\ -3 + \/ 9 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
Limit((-2 + sqrt(4 + 2*x))/(-3 + sqrt(9 + x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{2 x + 4} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3} \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right)}{\sqrt{2 x + 4} + 2}$$
=
$$\frac{2 x}{\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right)}$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 9} + 3$$
obtendremos
$$\frac{2 x \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$$
=
$$\frac{2 x \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{x \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right)}$$
=
$$\frac{2 \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\sqrt{2} \sqrt{x + 2} + 2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\sqrt{2} \sqrt{x + 2} + 2}\right)$$
=
$$3$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{2 x + 4} + 2$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3} \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right)}{\sqrt{2 x + 4} + 2}$$
=
$$\frac{2 x}{\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right)}$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\sqrt{x + 9} + 3$$
obtendremos
$$\frac{2 x \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right) \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}$$
=
$$\frac{2 x \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{x \left(\sqrt{2 x + 4} + 2\right)}$$
=
$$\frac{2 \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\sqrt{2} \sqrt{x + 2} + 2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\sqrt{x + 9} + 3\right)}{\sqrt{2} \sqrt{x + 2} + 2}\right)$$
=
$$3$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{2} \sqrt{x + 2} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{2} \sqrt{x + 2} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x + 9}}{\sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 3$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{2} \sqrt{x + 2} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 9} - 3\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x + 2} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{2} \sqrt{x + 2} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 9} - 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x + 9}}{\sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 3$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 3$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _________\
|-2 + \/ 4 + 2*x |
lim |----------------|
x->0+| _______ |
\ -3 + \/ 9 + x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
3
$$3$$
= 3
/ _________\
|-2 + \/ 4 + 2*x |
lim |----------------|
x->0-| _______ |
\ -3 + \/ 9 + x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right)$$
3
$$3$$
= 3
= 3
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{-2 + \sqrt{6}}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{-2 + \sqrt{6}}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = 3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{-2 + \sqrt{6}}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \frac{-2 + \sqrt{6}}{-3 + \sqrt{10}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 4} - 2}{\sqrt{x + 9} - 3}\right) = \sqrt{2}$$
Más detalles con x→-oo