Sr Examen

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(x-atan(x))/x^3
Límite de la función/ tan(x)/ (x-atan(x))/x^3

Límite de la función (x-atan(x))/x^3

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /x - atan(x)\
 lim |-----------|
x->0+|      3    |
     \     x     /
lim⁡x→0+(x−atan⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) 
Limit((x - atan(x))/x^3, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(x−atan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x3=0\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(x−atan⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(x−atan⁡(x))ddxx3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)
=
lim⁡x→0+(1−1x2+13x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(1−1x2+1)ddx3x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1 - \frac{1}{x^{2} + 1}\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(13(x2+1)2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{3 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+13\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}
=
lim⁡x→0+13\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3}
=
13\frac{1}{3}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.00.5
Construir el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /x - atan(x)\
 lim |-----------|
x->0+|      3    |
     \     x     /
lim⁡x→0+(x−atan⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
     /x - atan(x)\
 lim |-----------|
x->0-|      3    |
     \     x     /
lim⁡x→0−(x−atan⁡(x)x3)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) 
1/3
13\frac{1}{3} 
= 0.333333333333333
= 0.333333333333333
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(x−atan⁡(x)x3)=13\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = \frac{1}{3}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x−atan⁡(x)x3)=13\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = \frac{1}{3}
lim⁡x→∞(x−atan⁡(x)x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(x−atan⁡(x)x3)=1−π4\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 1 - \frac{\pi}{4}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x−atan⁡(x)x3)=1−π4\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 1 - \frac{\pi}{4}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x−atan⁡(x)x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/3
13\frac{1}{3}
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
0.333333333333333
0.333333333333333
Gráfico
Límite de la función (x-atan(x))/x^3
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