Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \left(e^{2 x} - 1\right) e^{- x} + 2 e^{x}}{2 \cos{\left(2 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)