Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- sqrt(n*(dos +n))-sqrt(- nueve +n^ cuatro)
- raíz cuadrada de (n multiplicar por (2 más n)) menos raíz cuadrada de ( menos 9 más n en el grado 4)
- raíz cuadrada de (n multiplicar por (dos más n)) menos raíz cuadrada de ( menos nueve más n en el grado cuatro)
- √(n*(2+n))-√(-9+n^4)
- sqrt(n*(2+n))-sqrt(-9+n4)
- sqrtn*2+n-sqrt-9+n4
- sqrt(n*(2+n))-sqrt(-9+n⁴)
- sqrt(n(2+n))-sqrt(-9+n^4)
- sqrt(n(2+n))-sqrt(-9+n4)
- sqrtn2+n-sqrt-9+n4
- sqrtn2+n-sqrt-9+n^4
-
Expresiones semejantes
- sqrt(n*(2+n))-sqrt(9+n^4)
- sqrt(n*(2+n))+sqrt(-9+n^4)
- sqrt(n*(2+n))-sqrt(-9-n^4)
- sqrt(n*(2-n))-sqrt(-9+n^4)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(3+2*x)-sqrt(-7+2*x)
- sqrt(-2+x)/(-4+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(1+x+x^2)-x
- sqrt(x)*(sqrt(1+x)-sqrt(x))
Límite de la función sqrt(n*(2+n))-sqrt(-9+n^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _________\
| ___________ / 4 |
lim \\/ n*(2 + n) - \/ -9 + n /
n->oo
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right)$$
Limit(sqrt(n*(2 + n)) - sqrt(-9 + n^4), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) \left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}\right)}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{n^{4} - 9}\right)^{2}}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right) + \left(9 - n^{4}\right)}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{4} + n \left(n + 2\right) + 9}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\frac{\sqrt{n^{2} + 2 n}}{n^{2}} + \frac{\sqrt{n^{4} - 9}}{n^{2}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{n^{4} - 9}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{n + 2}{n^{3}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{9}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{9}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 2 u + 1 - \frac{1}{u^{2}}}{\sqrt{1 - 9 u^{4}} + \sqrt{2 u^{3} + u^{2}}}\right)$$ =
= $$\frac{- \frac{1}{0} + 0 \cdot 2 + 9 \cdot 0^{2} + 1}{\sqrt{0^{2} + 2 \cdot 0^{3}} + \sqrt{1 - 9 \cdot 0^{4}}} = -\infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) \left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}\right)}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{n^{4} - 9}\right)^{2}}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right) + \left(9 - n^{4}\right)}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{4} + n \left(n + 2\right) + 9}{\sqrt{n \left(n + 2\right)} + \sqrt{n^{4} - 9}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\frac{\sqrt{n^{2} + 2 n}}{n^{2}} + \frac{\sqrt{n^{4} - 9}}{n^{2}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\sqrt{\frac{n^{4} - 9}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{n + 2}{n^{3}}}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{9}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- n^{2} + 1 + \frac{2}{n} + \frac{9}{n^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{9}{n^{4}}} + \sqrt{\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{3}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9 u^{2} + 2 u + 1 - \frac{1}{u^{2}}}{\sqrt{1 - 9 u^{4}} + \sqrt{2 u^{3} + u^{2}}}\right)$$ =
= $$\frac{- \frac{1}{0} + 0 \cdot 2 + 9 \cdot 0^{2} + 1}{\sqrt{0^{2} + 2 \cdot 0^{3}} + \sqrt{1 - 9 \cdot 0^{4}}} = -\infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = -\infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = -\infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = - 3 i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = - 3 i$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} i$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} i$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = - 3 i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = - 3 i$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} i$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} i$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\sqrt{n \left(n + 2\right)} - \sqrt{n^{4} - 9}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→-oo