Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{- \frac{1}{x}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - e^{\frac{2}{x}}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- e^{\frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - e^{\frac{2}{x}}\right) e^{- \frac{1}{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x e^{- \frac{1}{x}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{1 - e^{\frac{2}{x}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(1 - e^{\frac{2}{x}}\right)^{2} \left(e^{- \frac{1}{x}} + \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x}\right) e^{- \frac{2}{x}}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{- \frac{1}{x}} + \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x}\right) \left(- \frac{x^{2} e^{\frac{4}{x}}}{2} + x^{2} e^{\frac{2}{x}} - \frac{x^{2}}{2}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(e^{- \frac{1}{x}} + \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x}\right) \left(- \frac{x^{2} e^{\frac{4}{x}}}{2} + x^{2} e^{\frac{2}{x}} - \frac{x^{2}}{2}\right)\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)