Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+(1+x)^5-5*x)/(x^2+x^5)
-
Límite de (1-sqrt(cos(x)))/(x*sin(x))
-
Límite de (1-1/n)^n
-
Límite de (x-2*x^2+5*x^4)/(2+x^4+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- cos(x/ dos)*log(sin(x))
- coseno de (x dividir por 2) multiplicar por logaritmo de ( seno de (x))
- coseno de (x dividir por dos) multiplicar por logaritmo de ( seno de (x))
- cos(x/2)log(sin(x))
- cosx/2logsinx
- cos(x dividir por 2)*log(sin(x))
-
Expresiones semejantes
- cos(x/2)*log(sinx)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)*log(e)/x^2
- cos(2*x)^4
- cos((-1+pi*x)/(2*x))
- cos(2*x)/x^3
- cos(2*x)^2*sin(x)/sin(3*x)
- Logaritmo log
- log(sin(x))/log(x)
- log(cos(3*x))/log(cos(4*x))
- log((5+x^2)/(4+x^2))
- log(-4+x^2)/x
- log((-1+x)/(-2+x))
- Seno sin
- sin(5)^2/(3*x)
- sin(4*x)/sqrt(2-2*cos(4*x))
- sin(3*x)^2/(7*x^2)
- sin(10*x)/(5*x)
- sin(x)/(x-sin(x))
Límite de la función cos(x/2)*log(sin(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ /x\ \ lim |cos|-|*log(sin(x))| x->pi+\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$$
Limit(cos(x/2)*log(sin(x)), x, pi)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \sin{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \sin{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(- \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}^{2} \sin{\left(x \right)}}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /x\ \ lim |cos|-|*log(sin(x))| x->pi+\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$$
0
$$0$$
= (0.000945106191228151 - 0.000425310226703714j)
/ /x\ \ lim |cos|-|*log(sin(x))| x->pi-\ \2/ /
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)$$
0
$$0$$
= -0.000912474737732673
= -0.000912474737732673
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \pi^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→pi a la izquierda
$$\lim_{x \to \pi^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \log{\left(\sin{\left(1 \right)} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica
[src]
(0.000945106191228151 - 0.000425310226703714j)
(0.000945106191228151 - 0.000425310226703714j)