Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- (sqrt(cinco +x)-sqrt(cinco))/(doce *x)
- ( raíz cuadrada de (5 más x) menos raíz cuadrada de (5)) dividir por (12 multiplicar por x)
- ( raíz cuadrada de (cinco más x) menos raíz cuadrada de (cinco)) dividir por (doce multiplicar por x)
- (√(5+x)-√(5))/(12*x)
- (sqrt(5+x)-sqrt(5))/(12x)
- sqrt5+x-sqrt5/12x
- (sqrt(5+x)-sqrt(5)) dividir por (12*x)
-
Expresiones semejantes
- (sqrt(5-x)-sqrt(5))/(12*x)
- (sqrt(5+x)+sqrt(5))/(12*x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((a+x)*(b+x))-x
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(-1+x+x^2)-sqrt(1+x^2-x)
- sqrt(3+x^2+2*x)-x
- sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x)))/sqrt(1+x)
Límite de la función (sqrt(5+x)-sqrt(5))/(12*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______ ___\
|\/ 5 + x - \/ 5 |
lim |-----------------|
x->0+\ 12*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
Limit((sqrt(5 + x) - sqrt(5))/((12*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x} \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}{\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}}$$
=
$$\frac{1}{144 \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}$$
=
$$\frac{1}{144 \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{144 \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{5}}{120}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
Multiplicamos numerador y denominador por
$$\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x} \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}{\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}}$$
=
$$\frac{1}{144 \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}$$
=
$$\frac{1}{144 \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{144 \left(\frac{\sqrt{x + 5}}{12} + \frac{\sqrt{5}}{12}\right)}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{5}}{120}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}\right)}{\frac{d}{d x} 12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{24 \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{5}}{120}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{5}}{120}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{5}}{120}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(12 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}\right)}{\frac{d}{d x} 12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{24 \sqrt{x + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{5}}{120}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{5}}{120}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{5}}{120}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ _______ ___\
|\/ 5 + x - \/ 5 |
lim |-----------------|
x->0+\ 12*x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
___ \/ 5 ----- 120
$$\frac{\sqrt{5}}{120}$$
= 0.0186338998124982
/ _______ ___\
|\/ 5 + x - \/ 5 |
lim |-----------------|
x->0-\ 12*x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right)$$
___ \/ 5 ----- 120
$$\frac{\sqrt{5}}{120}$$
= 0.0186338998124982
= 0.0186338998124982
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = \frac{\sqrt{5}}{120}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = \frac{\sqrt{5}}{120}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = - \frac{\sqrt{5}}{12} + \frac{\sqrt{6}}{12}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = - \frac{\sqrt{5}}{12} + \frac{\sqrt{6}}{12}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = \frac{\sqrt{5}}{120}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = - \frac{\sqrt{5}}{12} + \frac{\sqrt{6}}{12}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = - \frac{\sqrt{5}}{12} + \frac{\sqrt{6}}{12}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{12 x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo