Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(729 x^{3}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin^{3}{\left(7 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{729 x^{3}}{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{729 x^{3}}{\sin^{3}{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} 729 x^{3}}{\frac{d}{d x} \sin^{3}{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{729 x^{2}}{7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{729 x^{2}}{7 \sin^{2}{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{729 x^{2}}{7}}{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{729 x}{49 \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{729 x}{49 \sin{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{729 x}{49}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{729}{343 \cos{\left(7 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{729}{343}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{729}{343}$$
=
$$\frac{729}{343}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)