Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(x \left(x - 5\right)\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\sqrt{x - 1} - 2\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{x^{2} - 5 x}{\sqrt{x - 1} - 2}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{x \left(x - 5\right)}{\sqrt{x - 1} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x - 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x - 1} - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(2 \sqrt{x - 1} \left(2 x - 5\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(8 x - 20\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(8 x - 20\right)$$
=
$$20$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)